Η συμβολή του Καραθεοδωρή στα Μαθηματικά

ΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ ΔΑΦΕΡΜΟΥ-Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Brown University, ΗΠΑ

Διεθνώς, ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή ανήκει στην πρώτη γραμμή των μαθηματικών του πρώτου μισού του 20ού αιώνα. Αναμφισβήτητα, είναι ο μεγαλύτερος Ελληνας μαθηματικός των νεότερων χρόνων.

Η επιστημονική προσωπικότητα του Καραθεοδωρή διαπλάθεται ήδη κατά τη διάρκεια των προπτυχιακών του σπουδών στη Στρατιωτική Σχολή του Βελγίου, απ' όπου αποκόμισε την πρώτη γεύση των εφαρμογών των Μαθηματικών, και από τις μεταπτυχιακές του σπουδές στο Βερολίνο και στο Γκέτινγκεν, οι οποίες τον έφεραν σε επαφή με τους διασημότερους μαθηματικούς της εποχής. Η εικόνα του μαθηματικού Καραθεοδωρή, όπως αναδεικνύεται από το έργο του, δεν είναι τόσο εκείνη του οραματιστή που χαράζει καινούριους δρόμους, όσο του χαρισματικού που επιλύει με εξαιρετική επιτυχία καίρια, κεντρικά προβλήματα της εποχής του. Εκτενής περιγραφή του έργου του, ενός έργου με ιδιαίτερα μεγάλο εύρος, δίδεται στη βιογραφία του που έγραψε η Μαρία Γεωργιάδου και κυκλοφόρησε πρόσφατα στα ελληνικά από τις «Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης». Ενδεικτικά, εδώ θα σταθούμε σε τέσσερις κατευθύνσεις, στις οποίες η συμβολή του ήταν, και εξακολουθεί να είναι, ιδιαίτερα σημαντική.

Ξεκινούμε από τον Λογισμό των Μεταβολών· τον κλάδο των Μαθηματικών που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση. Το πιο απλό παράδειγμα σε αυτόν τον κλάδο είναι η λεγόμενη «γεωδαισιακή» γραμμή: δίνονται δύο σημεία πάνω σε μια επιφάνεια και ζητείται η καμπύλη ελάχιστου μήκους που τα συνδέει (σκεφτείτε, π.χ., τη διαδρομή αεροπλάνου από την Αθήνα στη Νέα Υόρκη που ελαχιστοποιεί τη διάρκεια της πτήσης). Η Φυσική είναι μια άλλη πηγή προβλημάτων που ανάγονται στον λογισμό των μεταβολών, καθώς πλειάδα φυσικών νόμων εκφράζουν την ελαχιστοποίηση κάποιου φυσικού μεγέθους, όπως π.χ. η ενέργεια. Με τη διδακτορική του διατριβή, το 1904, ο νεαρός Καραθεοδωρή θέτει σε στέρεη μαθηματική βάση τη θεωρία μη ομαλών λύσεων προβλημάτων λογισμού των μεταβολών. Υστερα από μία τριακονταετία, ο ώριμος πια Καραθεοδωρή επιστρέφει στην περιοχή αυτή των Μαθηματικών. Ανακαλύπτει ότι ο λογισμός των μεταβολών, η θεωρία διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους πρώτης τάξεως, η κλασική δυναμική και η γεωμετρική οπτική συνδέονται με στενή σχέση. Αναπτύσσει τη θεωρία του αυτή στο κλασικό σύγγραμμα «Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung» (Λογισμός των μεταβολών και μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως, 1935), το οποίο συνιστά μια αγαστή σύνθεση της Μαθηματικής Ανάλυσης, της Γεωμετρίας και της Φυσικής.

Εξίσου σημαντική είναι η συμβολή του Καραθεοδωρή στη θεωρία μέτρου, η οποία είχε γεννηθεί στις αρχές του 20ού αιώνα στη Γαλλία, ως επιστέγασμα της μακροχρόνιας προσπάθειας να θεμελιωθεί ο ολοκληρωτικός λογισμός σε αυστηρές βάσεις. Στη σημερινή εποχή, η γενική θεωρία μέτρου είναι ο ακρογωνιαίος λίθος της Μαθηματικής Ανάλυσης και της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Ο Καραθεοδωρή συνέβαλε ουσιαστικά σ' αυτή την εξέλιξη, εισάγοντας την αξιωματική θεμελίωση της γενικής θεωρίας μέτρου που βασίζεται στην έννοια του «εξωτερικού μέτρου» και στο κομψότατο κριτήριο μετρησιμότητας, γνωστό ως «κριτήριο Καραθεοδωρή». Το σχετικό σύγγραμμά του «Vorlesungen uber veelle Funktionen» («Μαθήματα πραγματικών συναρτήσεων», 1918) έπαιζε σημαίνοντα ρόλο, επί δεκαετίες, για τη διάδοση της θεωρίας πραγματικών συναρτήσεων στη διεθνή μαθηματική κοινότητα. Κοντά στο τέλος της επιστημονικής του σταδιοδρομίας, ο Καραθεοδωρή προτείνει περαιτέρω γενίκευση της θεωρίας μέτρου, εισάγοντας μια καινούρια έννοια, την οποία βαφτίζει με το ελληνικό όνομα «σώμα».

Μεγάλο μέρος της ερευνητικής δραστηριότητας του Καραθεοδωρή επικεντρώνεται στη θεωρία των αναλυτικών μιγαδικών συναρτήσεων. Η μελέτη των κομψών και πλούσιων ιδιοτήτων των αναλυτικών συναρτήσεων είναι ένα από τα κύρια θέματα που απασχόλησαν τα μαθηματικά του 19ου αιώνα. Με την αυγή του 20ού αιώνα, η θεωρία έχει φτάσει σε στάδιο ωριμότητας, αλλά πολλά ερωτήματα, κυρίως τεχνικού χαρακτήρα, μένουν αναπάντητα. Ο Καραθεοδωρή μπαίνει στην περιοχή αυτή από το 1907, αμέσως μετά την εκπόνηση της διδακτορικής του διατριβής, και συνεχίζει να ασχολείται με αυτή για τα επόμενα τριάντα χρόνια. Ο Καραθεοδωρή είχε μια πρώτη επαφή με την κλασική Φυσική από τα φοιτητικά του χρόνια στη Στρατιωτική Σχολή του Βελγίου. Η θητεία του στο Βερολίνο και στο Γκέτινγκεν του έδωσε την ευκαιρία να συνάψει σχέσεις με διάσημους επιστήμονες, οι οποίοι πρωτοστατούσαν στην επανάσταση που έφεραν στη Φυσική η θεωρία της σχετικότητας και η κβαντομηχανική. Ο Καραθεοδωρή ήταν ενήμερος αυτών των εξελίξεων και δημοσίευσε ορισμένες εργασίες που άπτονται της μοντέρνας Φυσικής. Η υστεροφημία του όμως στη Μαθηματική Φυσική οφείλεται στη νεανική του εργασία (1909) για τη Θερμοδυναμική.

Η κλασική Θερμοδυναμική, η οποία αναπτύχθηκε στα μέσα του 19ου αιώνα, βασίζεται σε δύο νόμους, από τους οποίους ο πρώτος εκφράζει τη διατήρηση της ενέργειας, ενώ ο δεύτερος επιβάλλει ότι μια ποσότητα που λέγεται εντροπία -και η οποία εκφράζει τον βαθμό αταξίας του συστήματος- αυξάνει. Κίνητρο για την ανάπτυξη της Θερμοδυναμικής ήταν η προσπάθεια να βελτιωθεί η απόδοση των ατμομηχανών. Ως συνέπεια, το μοντέλο της ατμομηχανής έπαιξε κεντρικό ρόλο στην ίδια την περιγραφή της θεωρίας και στη διατύπωση των νόμων της. Στο πλαίσιο μιας τέτοιας περιγραφής, η έννοια της εντροπίας καλυπτόταν από πέπλο μυστηρίου. Ο Καραθεοδωρή αποφασίζει να απαλλάξει τη θεωρία απ' αυτήν την εξάρτηση και να την επαναδιατυπώσει πάνω σε σαφείς μαθηματικές βάσεις. Θεωρεί θερμοδυναμικά συστήματα σε κατάσταση ισορροπίας και εισάγει τις έννοιες της αντιστρεπτής και μη αντιστρεπτής αδιαβατικής μεταβολής. Αποδεικνύει ότι οι δύο νόμοι της Θερμοδυναμικής συνάγονται από δύο αξιώματα, εκ των οποίων το πρώτο συνεπάγεται την ύπαρξη της εσωτερικής ενέργειας και το δεύτερο την ύπαρξη της εντροπίας.

Το έργο του Καραθεοδωρή εντυπωσιάζει με το εύρος και το βάθος του. Οι ιδέες που εισήγαγε στη θεωρία μέτρου εξακολουθούν να διδάσκονται παγκοσμίως σε όλους τους φοιτητές Μαθηματικών. Ζωντανή είναι και η κατεύθυνση που ακολούθησε στον λογισμό των μεταβολών, και παίζει κεντρικό ρόλο στη θεωρία αυτομάτου ελέγχου. Η συμβολή του στη θεωρία αναλυτικών συναρτήσεων ίσως ανήκει πια στην ιστορία, αλλά πάντως είναι μέρος του κεντρικού κορμού των Μαθηματικών και δεν θα την καλύψει η λήθη. Αναμφισβήτητα ο Καραθεοδωρή είναι ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς του 20ού αιώνα.

ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ - 14/11/2008